Інвестиційний портфель освіти

Постановка задачі і метод її розв’язування

Управління фінансовими активами переслідує мету досягнення визначеного економічного ефекту в майбутньому часі. Однак, майбутнє невідоме й управління протікає в умовах невизначеності відносно майбутнього стану як самих фінансових активів, так і їх економічного оточення. Невизначеність породжує ризик неефективного управління – такого, що поставлені цілі управління не досягаються. Тому задача мінімізації ризику неефективного управління фінансами зводиться до задачі всесвітньої боротьби з невизначеністю [1]. 
Історично першим і найбільш поширеним способом урахування невизначеності являється використання ймовірності. Вважається, що початком сучасної теорії інвестицій стала опублікована в 1952 році стаття Г. Марковіца «Вибір портфелю», в якій вперше була запропонована математична модель формування оптимального портфеля цінних паперів та методи побудови таких портфелів при визначених умовах на основі теоретико-ймовірнісної формалізації  понять дохідності і ризику.
Таким чином, у світлі недостачі наявних наукових методів для управління фінансовими активами, знадобилася розробка принципово нової теорії управління фінансовими системами, функціонуючими в умовах істотної невизначеності. Велике сприяння цій теорії надає теорія нечітких множин, закладена близько півстоліття тому у фундаментальних роботах Лотфі Заде. У випадку застосування нечітких чисел до прогнозу параметрів від ОПР вимагалося не формувати точні ймовірності оцінки, а задавати розрахунковий коридор значень прогнозованих параметрів. Тоді очікуваний ефект оцінюється експертом так само, як нечітке число зі своїм розрахунковим розкидом (мірою невизначеності).

Зміст розділу:

1. Постановка задачі оптимізації інвестиційного портфеля
2. Чітка задача оптимізації інвестиційного портфеля (задача Марковіца) та її розв’язування
3. Постановка нечіткої задачі оптимізації інвестиційного портфеля
4. Метод розв’язування нечіткої задачі оптимізації інвестиційного портфеля
Список використаних джерел

Завантажити PDF 

1. Постановка задачі оптимізації інвестиційного портфеля

Розглядається фондовий портфель з N компонент і його очікувана поведінка (прогнозний перфоманс) на інтервалі часу [0,Т]. Кожна з компонент портфелю  характеризується своєю фінансовою прибутковістю , (оціненою в точці Т як відносне збільшення ціни активу за період).
Власник фондового портфелю – приватний вкладник, інвестиційна компанія, фонд – управляє своїми інвестиціями, керуючись певними міркуваннями. З одного боку, інвестор намагається максимізувати свою прибутковість. З іншого боку, він фіксує гранично допустимий ризик неефективності своїх інвестицій. Приймемо капітал інвестора рівним 1. Завдання оптимізації фондового портфеля полягає в знаходженні вектора пайового цінового розподілу паперів у портфелі: , що максимізує дохід інвестора при заданому рівні ризику (очевидно, що ).
Поставлену задачу можна умовно розділити на два етапи:
1. Розробка і реалізація алгоритмів методів оптимізації фондового портфеля:
а) для моделі Марковіца (ймовірнісний підхід);
б) для нечіткої моделі на основі теорії можливостей (нечітко-множинний підхід).
2.  Проведення порівняльного аналізу методів та виявлення їх достоїнств і недоліків для вирішення поставленої задачі.

2. Чітка задача оптимізації інвестиційного портфеля (задача Марковіца) та її розв’язування

Теоретичні моделі Марковіца побудовані на ряді припущень, частина з яких відноситься до умов прийняття інвестиційних рішень – до властивостей фондового ринку, інша частина – до поведінки інвестора. Найважливішими з припущень першої групи є наступні :

• Ринок складається з кінцевого числа нескінченно подільних ліквідних активів, прибутковості яких для заданого періоду вважаються випадковими величинами, тобто всі активи - ризикові.
• Існують відкриті і достовірні історичні дані про прибутковість активів, що дозволяють інвестору отримати оцінку очікуваних (середніх) значень дохідностей та їх попарних коваріацій.
• Інвестор при здійсненні операцій з фондовими активами вільний від транзакційних витрат і податків.
• Інвестор може формувати, будь-які допустимі (для даної моделі) портфелі, прибутковості яких є також випадковими величинами.

Щодо поведінки інвестора висуваються дві гіпотези – гіпотеза не насичуваності і гіпотеза несхильність до ризику. Ці гіпотези означають, що:

• Інвестор завжди віддає перевагу більш високому рівню добробуту, тобто при однакових інших умовах завжди вибирає актив (портфель активів) з більшою прибутковістю.
• Інвестор з двох активів з однаковою прибутковістю обов’язково віддасть перевагу активу з меншим ризиком.

Математична модель задачі Марковіца в чіткій постановці
Нехай портфель містить N типів цінних паперів (ЦП), кожен з яких характеризується п’ятьма параметрами :

• початковою ціною  одного паперу перед його розміщенням в портфелі;
• числом паперів  у портфелі;
• початковими інвестиціями  в даний портфельний сегмент, причому

;

• середньоочікуваною прибутковістю паперу ;
• її стандартним відхиленням  від значення .

Робиться основне припущення, що випадкова величина прибутковості паперу має нормальний розподіл з першим початковим моментом  і другим центральним моментом . Цей розподіл не обов’язково має бути нормальним, але з умов вінеровського випадкового процесу нормальність випливає автоматично.
Сам портфель характеризується:

• сумарним обсягом портфельних інвестицій S;
• пайовим ціновим розподілом паперів у портфелі , причому для вихідного портфеля виконується співідношення

;

• кореляційною матрицею , коефіцієнти якої характеризують зв’язок між прибутковістю і-го і j-го паперів. Якщо , то це означає повну негативну кореляцію, якщо , має місце позитивна кореляція.

Завжди виконується , так як цінний папір позитивно корелює сам з собою. Таким чином, портфель описаний системою статистично пов’язаних випадкових величин з нормальними законами розподілу. Тоді, відповідно до теорії випадкових величин, очікувана прибутковість портфеля r знаходиться за формулою:
,
а стандартне відхилення портфеля:
.
Завдання управління таким портфелем має таку постановку: визначити вектор  , що максимізує цільову функцію r при заданому обмеженні на рівень ризику .
Знайти вектор  , такий що


 ,
де  – ризик паперу з максимальною середньоочікуваою прибутковістю. Описана задача є класичною задачею квадратичної оптимізації, яка може вирішуватися будь-якими відомими методами оптимізації.
Якщо задаватися різним рівнем обмежень за , вирішуючи дану задачу, то можна отримати залежність максимальної прибутковості від  виду:

Даний вираз, іменований ефективною границею портфельної множини, в координатах «ризик – прибутковість» є кусково-параболічною увігнутою функцією без розривів. Правою точкою границі є точка, відповідна тому випадку, коли в портфелі виявляється один папір з максимальною середньоочікуваною прибутковістю.

3. Постановка нечіткої задачі оптимізації інвестиційного портфеля

Сформульовані проблеми зумовлюють застосування нечітко-множинного підходу, де:
Ризик портфелю – це не його волатильність, а можливість того, що очікувана прибутковість портфеля виявиться нижче деякої передвстановленої планової величини.
Кореляція активів у портфелі не розглядається і не враховується.
Прибутковість кожного активу – це невипадкове нечітке число (наприклад, трикутного або інтервального виду). Аналогічно, обмеження на гранично низький рівень прибутковості може бути як звичайним скалярним, так і нечітким числом довільного виду. Таким чином, ми зводимо два джерела інформації (середня прибутковість і волатильність активу) в один (розрахунковий коридор прибутковості або ціни) і тим самим об’єднуємо два джерела невизначеності в один.
Тому оптимізувати портфель в такій постановці може означати, в окремому випадку, потребу максимізувати очікувану прибутковість портфеля в точці часу Т при фіксованому рівні ризику портфеля. Ефективна межа портфельної множини в цьому випадку – увігнута лінія в координатах «ризик неприпустимо низької прибутковості портфеля – очікувана прибутковість портфеля». Кожній точці ефективної границі відповідає оптимальний портфель з чіткими границями. Таким чином, вся нечіткість – можливість моделі «ховатися» в показнику ризику недостатньої прибутковості.
Розглянемо задачу  на основі викладеної моделі. Нехай є фондовій портфель з Nактивів на інтервалі [0,T]. Прогнозний перфоманс кожної з компонент портфелю  на момент Т характеризується своєю фінальною розрахунковою прибутковістю  (оціненою в точці Т як відносне збільшення ціни активу за період). Оскільки дохід за ЦП випадковий, його точне значення в майбутньому невідоме, а імовірнісний опис такого сорту випадковості не цілком коректний, тому як опис прибутковості доречно використовувати трикутні нечіткі числа, моделюючи експертний вислів наступного виду: «Прибутковість ЦП по завершенні строку володіння очікувано дорівнює  і знаходиться в розрахунковому діапазоні ».
Таким чином, для і-го цінного паперу маємо:
– очікувана прибутковість і-го активу;
 – нижня границя прибутковості і-го активу;
 – верхня границя прибутковості і-го активу.
 – прибутковість і-го активу, трикутне нечітке число.
Тоді прибутковість портфелю:

(1)

також є трикутним числом (як лінійна комбінація трикутних нечітких чисел), де  – вага і-го активу в портфелі, причому

,

(2)

 – критичний рівень дохідності портфеля на момент Т. В частинному випадку це звичайний числовий норматив, наприклад, 10% річних.
Можливий випадок, коли даний показник є чітким числом, при цьому нижня і верхня межі та найбільш очікуване значення задаються однаковими.

4. Метод розв’язування нечіткої задачі оптимізації інвестиційного портфеля

Оцінка ризику портфельних інвестицій
На рис. 1 представлені функції належності r та критеріального значення r*.

Рис. 1 Функції належності r та r*
Точкою перетину цих двох функцій належності є точка з ординатою . Оберемо довільний рівень належності α і визначимо відповідні інтервали  і . При , інтервали не перетинаються. На рис. 2 зображено заштриховану зону неефективного розподілу активів в портфелі, обмеженої прямими  і бісектрисою координатного кута .

Рис. 2 Фазовій простір (r,r*)
Взаємні відношення параметрів  і  дають наступний розрахунок для площі заштрихованої плоскої фігури:

(3)

Оскільки всі реалізації (r, r*) при заданому рівні належності  рівноможливі, то рівень ризику неефективності  є геометричною ймовірністю події потрапляння точки (r,r*) в зону неефективного розподілу капіталу:

(4)

тоді підсумкове значення рівня ризику неефективності портфелю:

(5)

В важливому частинному випадку (рис. 3), коли критерій ефективності визначений чітко рівнем r*, то граничній перехід при  дає:

Для того, щоб зібрати всі необхідні вихідні дані для оцінки ризику, потрібні два значення оберненої функції . Перше значення є  (за визначенням верхньої границі зони ризику ), друге значення позначається як . Аналогічним чином позначаються  та  – два значення оберненої функції .

Рис. 3 Приклад чіткого критерію ефективності
Також введемо позначення   – найбільш очікуване значення . Тоді вираз для рівня ризику портфелю  має вигляд:

(6)

де

(7)

(8)

Таким чином, рівень ризику приймає значення від 0 до 1. Кожен інвестор може класифікувати значення , виділивши для себе відрізок неприйнятних значень ризику.

Модель управління прибутковістю портфеля
Для того, щоб визначити структуру портфелю, який забезпечить максимальний прибуток при заданому рівні ризику, потрібно розв’язати таку оптимізаційну задачу:

(9)

де r – прибутковість портфелю:

 – прибутковість і-го ЦП,
величина  визначаються з формул (6)-(8), компоненти вектора xзадовольняють (2).
З (8)  можна записати в такому вигляді:

(10)

Тоді отримуємо таку задачу оптимізації:

	(11)
	(12)
	(13)

У залежності від рівня ризику задача поділяється на три випадки.

1. . Даний випадок можливий коли . Отримуємо таку задачу лінійного програмування:

	(14)
	(15)
.	(16)

2. . Даний випадок можливий коли . Отримуємо таку задачу лінійного програмування:

 

	(17)
	(18)
	(19)

3..

Такий випадок можливий, якщо або, коли 
а) Нехай Тоді задача (11)-(13) зводиться до такої задачі нелінійного програмування:

	(20)
	(21)
	(22)
	(23)
.	(24)

б) Нехай  . Тоді задача зводиться до такої задачі нелінійного програмування:

	(25)
	(26)
	(27)
	(28)
.	(29)

Знайдений в результаті розв’язування розглянутих задач вектор   і є шуканою структурою оптимального для даного рівня ризику портфеля. 

Список використаних джерел:

1. Зайченко Ю.П. Нечеткие модели и методы в интеллектуальных системах: учеб. пособие для студентов высших учеб. заведений / Юрий Петрович Зайченко. – К.: Слово, 2008. – 341с.