Вербальне та невербальне мислення з точки зору кодування

Вербальне та невербальне мислення з точки зору кодування

 До середини XX століття мовами займалося мовознавство, що відвіку вивчає мовну діяльність людини і текст-гіпертекст з метою зрозуміти і описати платформу, що лежить в їх основі. Наразі інформаційні технології з другої половини XX століття спричинили появу машинної мови, дуже специфічної, і в дечому штучної системи кодування інформації. Так склалися нові науки про кодування та прекодування інформації, що досліджує мовну діяльність  обчислювальних машин і людини під іншою точкою зору.   Одна з таких, це  наука  психолінгвістика, прикордонна дисципліна,  що розвинулася  на стику мовознавства і психології  інформаційної діяльності. Вона вивчає в першу чергу експериментальними методами психічні закономірності породження і сприйняття мовних висловів; механізми, керуючі засоби цими процесами і забезпечує володіння і оволодіння машинами штучними мовами. Нарешті, взагалі мовну здатність людини і машини в широкому контексті психічних і інтелектуальних здібностей трактують, як здатність осмислювати, передавати, обробляти, перетворювати інформацію(дані) на великі відстані і зберігати її на великих часових проміжках.

Взаємовідношення мови і мислення.

Будучи, як сказано вище, знаряддям закріплення, передачі і зберігання інформації, мова тісно пов'язана з мисленням, зі всією духовною діяльністю людей, направленою на пізнання об'єктивно існуючого світу, на його відображення (моделювання) в людській свідомості. Разом з тим, утворюючи щонайтіснішу діалектичну єдність, мова і мислення не складають, проте, тотожності: вони різні,  хоча і взаємозв'язані явища, їх області перетинаються, але не співпадають повністю.

Так само, як і спілкування, мислення може бути вербальним і невербальним. Невербальне мислення здійснюється за допомогою наочно-чуттєвих образів, що виникають в результаті сприйняття вражень дійсності і потім зберігаються пам'яттю і відтворюються уявою. Невербальне мислення представлене в тому або іншому ступені вже у деяких тварин, і саме це забезпечує тварині правильне орієнтування в ситуації і ухвалення доцільного рішення. Високорозвинені форми невербального мислення (у поєднанні з мисленням вербальним, словесним) знаходимо у людини. Так, невербальною є розумова діяльність при вирішенні творчих завдань технічного, дизайнерського характеру (наприклад, пов'язаних з просторовою координацією і рухом частин механізму). Вирішення подібних завдань зазвичай не протікає у формах внутрішньої (і тим більше зовнішньою) мови. Це особливе «технічне», або «інженерне», мислення. Близько до цього мислення шахіста.  Особливий тип наочно-образного  мислення характерний для творчості живописців, скульпторів, поетів, дизайнерів, науковців.

Вербальне мислення оперує поняттями, закріпленими в словах, думках, результатом вербального мислення являються висновки, аналіз  і узагальнення, вербальне мислення будує гіпотези і теорії. Воно протікає у формах, сталих в природній мові, тобто здійснюється в процесах внутрішньої або (при «роздумі вголос») зовнішньої мови. Можна сказати, що мова певним чином організовує знання та уяву людини про світ, розчленовує і закріплює ці знання і передає їх подальшим поколінням. Понятійне мислення може спиратися і на вторинні, штучні мови, на побудовані людиною спеціальні системи спілкування. Так, математик або фізик оперує поняттями, закріпленими в умовних символах, мислить не словами, а формулами  або  математичними моделями, за допомогою яких здобуває нове знання.

Облік всіх цих фактів говорить про те, що мислення людини багатокомпонентно, що думка є складна сукупність різних типів розумової діяльності, що постійно змінюють і доповнюють одна одну і нерідко виступають в синтезі, у взаємозв’язку. Вербальне, мовне мислення є, таким чином, лише одним з компонентів людського мислення, хоча і найважливішим.

Надзвичайна складність структури людського мислення підтверджується і
сучасними даними про роботу головного мозку людини. Принципова особливість
нашого мозку полягає в так званій функціональній асиметрії, тобто в певній
спеціалізації функцій лівої і правої півкуль. У більшості людей в лівій
півкулі розташовані зони породження і сприйняття мови, так звані зони Брока і
Верніке таким чином, ліва півкуля є «мовною», а тим самим,
зазвичай, і «домінантним» (тобто що «очолює»), точніше, воно відповідальне за логіко-граматичну розчленовану і зв'язність нашої мови, за її форму, а також, мабуть,  і за абстрактну лексику, коротше аналітичного, абстрактного мислення. При афазіях (порушеннях мови), обумовлених травмами лівої півкулі, мова втрачає граматичну правильність і плавність (причому по-різному, залежно від того,  які ділянки кори  уражені лобоскроневі   або  задньовисочні).   В протилежність лівому   праве півкуля тісніше пов'язана з наочно-образним мисленням, із зоровими,  просторовими, звуковими або іншими образами, а спеціально в області мови з наочними значеннями слів, особливо конкретних іменників. Воно характеризується нерозчленованим, та зате і більш цілісним сприйняттям змісту і є джерелом інтуїції. При захворюваннях і травмах,  що вражають праву півкулю, граматична правильність висловів може зберігатися, але мова стає безглуздою. Цікаво, що в дитячому віці асиметрія мозку ще не проведена повністю і у разі часткової поразки тієї або іншої ділянки кори головного мозку інші ділянки можуть узяти на себе його функції. Взагалі в нормі обидві півкулі працюють в безперервному контакті одна з одною, спільною роботою забезпечуючи всю поведінку людини, його мислення і мову.

Мова пов'язана зі всією психічною діяльністю людини, тобто не тільки з думкою, але також з відчуттям і волею. Зокрема, у дитини перші прояви мови направлені не стільки на здійснення пізнавальної діяльності, скільки на вираз вольових спонук і вимог, звернених до тих, що оточують (домінує апелятивна функція). Можна сказати, що на ранньому етапі дитинства розвиток мови і інтелектуальний розвиток ще мало зв'язані один з одним. Але поступово обидві лінії розвитку об'єднуються і приблизно з дворічного віку мова стає найважливішим засобом формування думки дитини і його залучення до досвіду дорослих.

Множинність і надзвичайна різноманітність мов у світі аніскільки не підривають принципової єдності людського мислення, єдність законів логіки, по яких протікає розумова діяльність; проте інвентар понять, зафіксованих в словах і граматичних формах, звичайно, відрізняється від природної мови до штучної мови. Хоча в природній мові і в штучній мові все підпорядковано завданню точного  виразу смислового змісту і тим самим отримувати думку.  Деякі сторони в структурі мови і в процесах мовної діяльності пов'язані з формульованою у вислові думкою лише дуже побічно, через цілий ланцюжок ланок, що є посередником. Іноді мовна форма відображає «структуру» мислення, наприклад, сучасні логічні поняття, і поняття, що пішли в минуле. Елементарний приклад: ми говоримо сонце зійшло, сонце сіло, хоча чудово знаємо, що не сонце обертається навколо землі, а земля навколо сонця. З цієї точки зору мова гіпертекстової розмітки HTML для учня середньої школи є прикладом мови, що допомагає структурно оформити інформацію для масового використання.

Розглянемо з точки зору кодування марковані числа

Кодування об'єктів багаторівневих множин за допомогою маркованих чисел.

1.ОЗНАЧЕННЯ БАГАТОРІВНЕВОЇ МНОЖИНИ

 Задаємо злічену кількість множин і впорядкуємо їх за допомогою індексу. 

НЕХАЙ:

Множина ПЕРШОГО рівня має елементи:

 ꭥ₁={ M₀, M₁, M₂, M₃, … , M_i-2,  M_i-1, M_i}, де M₀ÎÆ, iÎN.

Множина ДРУГОГО рівня має елементи:    

ꭥ₂={ R₀, R₁, R₂, R₃, … , R_k-2,  R_k-1, R_k}, де R₀ÎÆ,  kÎN.

Множина ТРЕТЬОГО рівня має елементи:    

ꭥ₃={ T₀, T₁, T₂, T₃, … , T_p-2,  T_p-1, T_p}, де T₀ÎÆ, pÎN.

………………………………………………

Множина N-ого рівня має елементи:    

ꭥ_n={ D₀, D₁, D₂, D₃, … , D_j-2,  D_j-1, D_j}, де D₀ÎÆ, jÎN.

Накладемо на   множини ꭥ_{1, …}ꭥ_n умову підпорядкування.

ВЛАСТИВІСТЬ ПІДПОРЯДКОВАННЯ:  усі елементи множини ꭥ_k-1  утворюють повний(вичерпний) набір  структурних елементів, з яких можна утворити за допомогою будь-яких перетворень будь-який елемент множини ꭥ_k,   де kÎN.  

ВЛАСТИВІСТЬ УНІКАЛЬНОСТІ: для будь-яких двох різних натуральних чисел  kÎN    та j ÎN виконується умова:   ꭥ_k Ç ꭥ_j =Æ.

Утворимо такі об’єкти,  використовуючи упорядковані  послідовності  елементів множин ꭥ_k,  де k=1.. n.

α (n) = α₁:α₂:α₃: _… :α_i-1:α_i:α_i+1: _… :α_n-2:α_n-1:α_n,                                 (1.1)

де  α_i Î ꭥ_j, j=1.. n називаються маркером  i-ого рівня.

Означення 1. МАРКОВАНИМ  ЧИСЛОМ називається кодування  об’єктів  у вигляді (1.1).

Означення 2. МНОЖИНА  ꭥ називається n-рівневою множиною, якщо  її елементами є тільки марковані числа α (k), де k =1.. n.  Індекс j  множини ꭥ_j означає j-ий рівень у множині ꭥ.

Означення 3. Маркованим нуль-ЧИСЛОМ НАЗИВАЄТЬСЯ КОДУВАННЯ  із порожніх множин або нулів.

Приклади маркованих нуль-чисел:  Æ:Æ:Æ,   або Æ:Æ,або 0:00:00000:000, або 00:00.

Зразки використання маркованих чисел на практиці.

ПРИКЛАД 1. Електронний формат маркованого числа записується для вимірювання або фіксування часу в одній добі:

17:46:15,

що означає 17 годин 46 хвилин 15 секунд.

Множина першого рівня(години) має елементи:

ꭥ₁={00; 01; 02; 03; 04; 05; 06; …, 21; 22; 23}.

Множина другого рівня(хвилини) має елементи:

ꭥ₂={00; 01; 02; 03; 04; 05; 06; …, 58; 59}.

Множина третього рівня(секунди) має елементи:

ꭥ₃={00; 01; 02; 03; 04; 05; 06; …, 58; 59}.

Властивість підпорядкування для множин ꭥ_1, ꭥ_2, ꭥ₃ виконується, тому що будь-яку кількість хвилин можна записати в секундах. Будь-яку кількість годин можна записати в хвилинах.

Загальний вигляд маркованого числа для фіксування часу в добі:

ꭥ₁ :ꭥ₂ :ꭥ₃ .

ПРИКЛАД 2. Нехай є множина доріг в деякій країні. Розбиваємо дороги за рівнями їх значимості.

Нехай множина доріг міжнародного значення:  

ꭥ_M ={ M_0, M₁, M₂, M₃, … , M_n-2,  M_n-1, M_n},  де M₀ÎÆ, nÎN.

Нехай множина  доріг республіканського значення:  

ꭥ_R ={ R_0, R₁, R₂, R₃, … , R_k-2,  R_m-1, R_m},  де R₀ÎÆ, mÎN.

Нехай множина доріг обласного значення:  

ꭥ_O ={ O_0, O₁, O₂, O₃, … , O_p-2,  O_p-1, O_p},  де O₀ÎÆ, pÎN.

Нехай множина доріг районного значення:

ꭥ_T ={ T_0, T₁, T₂, T₃, … , T_p-2,  T_k-1, T_k},  де T₀ÎÆ, kÎN.

Властивість підпорядкування для множин ꭥ_M, ꭥ_R, ꭥ_O, ꭥ_T виконується, тому що будь-яку кількість доріг із множини  ꭥ_M можна записати  дорогами із множини ꭥ_R. Будь-яку кількість доріг із множини  ꭥ_R можна записати  дорогами із множини ꭥ_О. Будь-яку кількість доріг із множини  ꭥ_О можна записати  дорогами із множини ꭥ_Т.

Маркованим  числом дороги в країні називається кодування:

M_i:R_j:О_g:Т_h.

Наприклад, марковане число   M₇:R₃:О₅:Т₂ означає, що подане кодування означає: на міжнародній дорозі M₇  є республіканська дорога  R₃  при цьому є ще дороги нижчого рівня, а саме: обласна дорога О₅  і є районна дорога Т_2.   

Загальний вигляд маркованого числа для фіксації  доріг в країні:

ꭥ_M :ꭥ_R :ꭥ_T:ꭥ_D.

Приклад 3. Розглянемо фіксацію маркованими числами множини мостів в країні. Розмітимо територію країни на три області, області  розділимо на вісім районів, райони - на територіальні громади і  на територіях громад  введемо відповідне кодування мостів.

НЕХАЙ:

Множина ПЕРШОГО рівня містить три області країни:

 ꭥ₁={ M₀, M₁, M₂, M₃}, де M₀ÎÆ.

Введемо нумерацію областей,  якою потім скористаємося для зручного кодування мостів.

Нехай країна розбита на три області.

Область M₁ позначатимемо  числом 01.

Запис області М₁ у вигляді маркованого  числа:   01:00:00:00.

Область M₂ позначатимемо  числом 02.

Запис області М₂ у вигляді маркованого числа:   02:00:00:00.

Область M₃ позначатимемо числом  03.

 Запис області М₃ у вигляді маркованого  числа:   03:00:00:00.

Множина ДРУГОГО рівня містить усі райони для усіх областей із множини ꭥ₁:   

ꭥ₂={ R₀, R₁, R₂, R₃, … , R₆,  R₇, R₈}, де R₀ÎÆ. 

Введемо нумерацію районів, якою потім скористаємося для зручного кодування мостів.

В області M₁ маємо три райони.

Район R₁ позначатимемо  числом 01.

Запис району R₁ у вигляді якісного числа:   01:01:00:00.

Район  R₂ позначатимемо числом 02.

Запис району R₂ у вигляді якісного числа:   01:02:00:00.

Район R₃ позначатимемо числом 03.

Запис району R₃ у вигляді якісного числа:   01:03:00:00.

В області M₂ маємо два райони:

Район R₄ позначатимемо   4.  Запис району R₄ у вигляді маркованого числа:   02:04:00:00.

Район  R₅ позначатимемо  5.  Запис району R₅ у вигляді маркованого числа:   02:05:00:00.

В області M₃ маємо три райони.

Район R₆ позначатимемо  числом 6. Запис району R₁ у вигляді маркованого числа:   03:06:00:00.

Район  R₇ позначатимемо числом 7. Запис району R₂ у вигляді маркованого  числа:   03:07:00:00.

Район R₈ позначатимемо числом 8. Запис району R₃ у вигляді маркованого числа:   03:08:00:00.

Множина ТРЕТЬОГО  рівня містить усі територіальні громади.  тобто

ꭥ₃={ T₀, T₁, T₂, T₃, … , T_p-2,  T_p-1, T_p}, де T₀ÎÆ, pÎN.

Введемо нумерацію територіальних громад двоцифровими числами, якою потім скористаємося для зручного МАРКУВАННЯ мостів.

Множина ЧЕТВЕРТОГО  рівня містить усі мости:   

ꭥ₄={ N₀, N₁, N₂, N₃, … , N_p-2,  N_p-1, N_p}, де N₀ÎÆ, pÎN.

 Введемо нумерацію мостів двоцифровими числами, якою потім скористаємося для зручного маркування мостів.

У кожній територіальній громаді маємо декілька  мостів. Фіксацію моста  у вигляді маркованого  числа:  

01:08:02:45,  у першій області є восьмий район і друга територіальна громада МАЄ 45-ИЙ  МІСТ.

03:06:01:05,  у третій області є шостий район і перша територіальна громада МАЄ 5-ИЙ МІСТ

02:05:03:10, у другій  області є п’ятий район і третя територіальна громада МАЄ ДЕСЯТИЙ МІСТ.

ПРИКЛАД   4.  У природі існує рослинний світ,  який містить деяку множину рослин,   а кожна рослина  складаються з рослинних тканин, а кожна рослинна тканина  містить клітини, які складаються в свою чергу з білків, а білки складаються із амінокислот, і так далі.

Для багаторівневої фіксації елементів рослинного світу використаємо марковане число  001:008:05:000002:04 , означає  у рослині № 1 маємо  рослинну тканину  № 8, а в ній маємо клітину № 5, у якій міститься білок № 2 з четвертою амінокислотою.

Перша множина ꭥ_R містить  номера усіх рослин у природі, тобто

ꭥ_R ={ R_0, R₁, R₂, R₃, … , R_k-2,  R_m-1, R_m},  де R₀ÎÆ, mÎN.

 Друга множина  ꭥ_Т містить номера усіх рослинних тканин,  тобто

ꭥ_Т ={ T₀, T₁, T₂, T₃, … , T_p-2,  T_p-1, T_p}, де T₀ÎÆ, pÎN.

Третя множина  ꭥ_К містить номера усіх рослинних клітин,  тобто

ꭥ_К ={ К₀, К₁, К₂, К₃, … , К_i-2,  К_i-1, К_i}, де К₀ÎÆ, iÎN.

Четверта  множина  ꭥ_В містить номера усіх рослинних білків,  тобто

ꭥ_B ={ B₀, B₁, B₂, B₃, … , B_p-2,  B_p-1, B_p}, де B₀ÎÆ, _pÎN.

П’ята множина  ꭥ_А містить номера усіх рослинних клітин,  тобто

ꭥ_А ={ А₀, А₁, А₂, А₃, … , А_n-2,  А_n-1, А_n}, де К₀ÎÆ, nÎN.

Властивість підпорядкування для множин ꭥ_R, ꭥ_T, ꭥ_K, ꭥ_B, ꭥ_A виконується, тому що будь-яку рослину можна записати як декілька рослинних тканини. Будь-яку рослинну тканини можна записати як набір рослинних клітин, і так далі.

ПРИКЛАД   5.  У Збройних Силах країни існує ієрархія бойових підрозділів.   Збройні Сили мають декілька стратегічних напрямів, кожний стратегічний напрям має декілька армійських корпусів, кожний армійський корпус  містить деяку множину бригад,   а кожна бригада  складається з полків, а кожний полк містить декілька батальйонів, кожний з яких має декілька рот, а кожна рота складаються із декількох  взводів, і так далі, кожний взвод ділиться на декілька відділень, кожне відділення складається із військовослужбовців.

Для багаторівневої фіксації військових підрозділів у Збройних Силах країни використаємо марковане число 

3:2:01:05:21:125:0261:0578:003980.

Це число означає, що на стратегічному напрямку № 3 базується армійський корпус №2, в якому знаходиться бригада № 1, у цій бригаді  маємо  полк  № 5, а в цьому полку маємо батальйон №21, у якій є рота №125, у цій роті є взвод №0261,  а до нього входить відділення №0578, а у цьому відділенні служить військовослужбовець № 003980.

Перша множина ꭥ_N містить  номера усіх стратегічних напрямів у  країні, тобто

ꭥ_N ={ N_0, N₁, N₂, N₃, … , N_k-2,  N_m-1, N_m},  де R₀ÎÆ, mÎN.

 Друга множина  ꭥ_А містить номера усіх армійських корпусів у  країні,  тобто

ꭥ_А ={ А₀, А₁, А₂, А₃, … , А_p-2,  А_p-1, А_p}, де А₀ÎÆ, pÎN.

Третя множина  ꭥ_В містить номера усіх бригад у  країні,  тобто

ꭥ_В ={ В₀, В₁, В₂, В₃, … , В_i-2,  В_i-1,В_i}, де В₀ÎÆ, iÎN.

Четверта  множина  ꭥ_Р містить номера усіх полків у  країні,  тобто

ꭥ_Р ={ Р_0, Р₁, Р₂, Р₃, … , Р_k-2,  Р_m-1, Р_m},  де Р₀ÎÆ, mÎN.

П’ята множина  ꭥ_Z містить номера усіх  батальйонів у країні,  тобто

ꭥ_Z ={ Z₀, Z₁, Z₂, Z₃, … , Z_n-2,  Z_n-1, Z_n}, де Z₀ÎÆ, nÎN.

і так далі для рот, взводів, відділень. Крайня множина буде такою.

Дев’ята множина  ꭥ_R містить номера усіх  військовослужбовців у країні,  тобто

ꭥ_R ={ R₀, R₁, R₂, R₃, … , R_n-2,  R_n-1, R_n}, де R₀ÎÆ, nÎN.

Властивість підпорядкування для множин ꭥ_N, ꭥ_A, ꭥ_B, ꭥ_P, ꭥ_{Z, …,}ꭥ_R,  виконується, тому що будь-який стратегічний напрям можна записати як декілька армійських корпусів. Будь-який армійський корпус можна зафіксувати як множину декількох бригад, і так далі.

ПРИКЛАД   6.  Психологія свідомості людини системно вивчає різні психологічні процеси: 1)відчуття; 2)сприйняття; 3)уваги; 4)пам’яті; 5)уяви; 6)мислення; 7)концентрації; 8)мовлення; 9)мислення; 10)пізнання; 11)релаксації; 12)емоційних переживань; 13)мотивації; 14)стресу; 15)конфлікту; 16)упереджень, і так далі. Кожний психологічний процес  виконує декілька психологічних функцій: 1)орієнтації; 2) захисту; 3) блокування; 4) обміну інформацією; 5) задоволення потреб; 6)  удосконалення навичок та умінь;  7)накопичення життєвого досвіду; 8) відношення до оточуючих; 9) осмислення змін у середовищі, тощо. Кожна психологічна функція змінює стани(явища) свідомості людини: 1)афекту; 2)напруги; 3)установки;  4)депресії;  5)шоку і так далі.  А кожний   стан людської свідомості має різні властивості: 1)рівень набутих здібностей; 2)характер  гальмування емоцій; 3) реакція страху на дезорієнтуючи подразники;  4)темперамент; 5) рівень адаптації до надзвичайних умов існування,  тощо. Властивості станів виявляються дії певних факторів:1) росту організму; 2)паніки в оточенні ; 3)громадської  думки; 4)чуток; 5)старіння організму; 6)зміни суспільного статусу; 7)сімейного укладу відносин; 8)стихійного лиха та катастроф; 9)моди на щось; 10) мобілізації до війська, тощо.

Для фіксування перебігу чи регуляції психологічних процесів використовуються марковані числа. Наприклад, марковане число

004:007:005:002:008

означає при четвертому психологічному процесі(відбувається запам’ятовування) реалізується 12-а психологічна функція(накопичення досвіду),  у стані № 5(шоку) проявляється властивість свідомості 2(гальмування емоцій), за умови дії фактору №8(катастрофи або стихійного лиха).

 ПРИКЛАД   7.  Параметри продукції, які виробляють підприємства записуються у форматі штрих-кодів.   Штрих-коди – це спосіб маркування товарів за допомогою штрихів(це смуги чорного та білого кольору різної довжини для машинного зчитування інформації, штрихи мають відносну довжину 1, 2,3,4 одиниць. Для кодування кожної цифри використовується чотири штрихи: двох білих і двох чорних, а довжина кодування кожної цифри дорівнює 7 одиниць. Наприклад: цифра 9 має довжини штрихів 3-1-1-2,  цифра 8 має довжини штрихів 1-2-1-3,  цифра 7 має довжини штрихів 1-3-1-2,  цифра 6 має довжини штрихів 1-1-1-4, цифра 5 має довжини штрихів 1-2-3-1,  цифра 4 має довжини штрихів 1-1-3-2, цифра 3 має довжини штрихів 1-4-1-1,  цифра 2 має довжини штрихів 2-1-2-2, цифра 1 має довжини штрихів 2-2-2-1, цифра 0 має довжини штрихів 3-2-1-1,  ) та маркованих чисел.  Штрихове кодування винайшов інженер Давид Коллінз. Наприклад, під штрихами деякого штрих-коду   записано таке число:

40:44572:30720:0.

Це марковане число означає: 40 – код країни; 44572 – код виробника(реєстраційний номер підприємства);    30720 – код товару(перша цифра найменування товару за №4, друга цифра – споживчі властивості товару за номером 4; третя цифра –розміри та маса за номером 5; четверта цифра –інгредієнти за номером 7;  п’ята цифра – колір за номером 2);  0- контрольна цифра для перевірки та визначення дійсності товару.

 Приклад обчислення контрольної цифри:

1-дія: додати усі цифри, що знаходяться на парних місцях: 0+4 +7+3+7+0 =21; 2-дія: отриману суму помножити на 3, тобто 3*21=63;

3-дія: додати усі цифри, що знаходяться на непарних місцях безконтрольної цифри:4+4 +5+2+0+2 =17;

 4-дія:додати числа, що отримані в 2-дії та 3-дії: 63+17=80;

5-дія: відкинути десятки в числі, що отримано в 4-дії: 80 = 0;

6 дія: від 10 відняти отримане в 5-дії число і відкинути в різниці десятки: 10-0=10,  остаточно 10=0.

Якщо отримана після розрахунку цифра не співпадає з контрольною цифрою у штрих-коді, це означає, що товар зроблений незаконно.

Примітка. Можливо, коли для коду країни відводиться три цифри, а для коду виробника відводиться чотири цифри. Для товарів України використовують код 482.

Властивості маркованих чисел.

Нехай дано довільне марковане число із  n-рівневої  множини  ꭥ.

α (n) = α₁:α₂:α₃: _… :α_i-1:α_i:α_i+1: _… :α_n-2:α_n-1:α_n,                                 (1.1)

де  α _j Î ꭥ_j, j=1.. n. –  називається маркером  j-рівня.

1.     У маркованому числі α (n) не можна  переставляти місцями  маркери  j-рівня  на маркери i -рівня.

2.     У маркованому числі α (n)   можна  закреслювати    одночасно усі маркери  від 1-ого рівня до j-рівня(зліва направо), де1< j<n. Незакреслені маркери утворюють марковане число, що належить n-рівневій множині.

α₁:α₂:α₃: _… :α_i-1:α_i:α_i+1: _… :α_n-2:α_n-1:α_n  = α_i:α_i+1: _… :α_n-2:α_n-1:α_n  

3.     У маркованому числі α (n)   можна  закреслювати    одночасно усі маркери  від n -ого рівня до j-рівня(справа наліво),  де1< j<n. Незакреслені маркери утворюють марковане число, що належить n-рівневій множині.

  α₁:α₂:α₃: _… :α_i-1:α_i:α_i+1: _… :α_n-2:α_n-1:α_n  = α₁:α₂:α₃: _… :α_i-1:α_i                                                           

У маркованому числі не можна  міняти місцями  j-рівня на  будь-якого рівня.

Введемо деякі операції над маркованими числами.

1.     Будь-яке марковане число α (n)  подати як розклад на маркери, а саме

 α (n) = α₁:α₂:α₃: _… :α_i-1:α_i:α_i+1: _… :α_n-2:α_n-1:α_n  =

= α₁È α₂ Èα₃È  _… È  α_i-1È α_iÈ α_i+1È _… È α_n-2 È α_n-1È  α_n     =

2.     Будь-яке марковане число α (n)  можна подати як розклад на згруповані марковані числа меншої довжини, а саме

α (n) = α₁:α₂:α₃: _… :α_i-1:α_i:α_i+1: _… :α_n-2:α_n-1:α_n  =

= α₁:α₂È α₃: α₄È _… È α_i-1:α_i-1È α_i:α_i+1È  _… È α_n-3:α_n-2È α_n-1:α_n,